Kolo2

Większość materiałów cytowana z wikipedii.
Linki na dole w źródłach.

Rozkład jednostajny

$Pr[X=a]=0$ dla wszystkich $a\in \mathbb{R}$

Źródło: [3]

Rozkład normalny

Rozkład dwumianowy

Prawdopodobieństwo ''p(k)'' uzyskania dokładnie ''k'' sukcesów w N próbach wynosi:

(1)
\begin{align} P(X=k) = {N \choose k} \cdot p^k \cdot q^{N-k}; \qquad k = 0, 1, 2, \dots, N; \qquad q = 1-p \end{align}

gdzie: $N \choose k$ to symbol Newtona : ${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Wartość oczekiwana rozkładu dwumianowego: $EX=p \cdot N$

Wariancja: $D^2X=p \cdot q \cdot N$

Funkcja charakterystyczna: $\phi_X(t)=(pe^{it}+ q)^N$

Źródło: [5]

Rozkład Poissona

Zmienna losowa $X$ ma rozkład Poissona, jeśli:

(2)
\begin{align} \mathbb P(X = k) = {e^{-\lambda}\lambda^k \over k!},\; k = 0, 1, \dots;\; \lambda > 0 \end{align}

Własności rozkładu Poissona:
prawdopodobieństwo: $\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$ ,
wartość oczekiwana: $\lambda$ ,
wariancja: $\lambda$ ,
współczynnik skośności: $\lambda^{-1/2}$ ,
kurtoza: $\lambda^{-1}$ ,
funkcja charakterystyczna: $\phi_X(t)=e^{\lambda(e^{it}-1)}$

Źródło: [6]

Rozkład wykładniczy

Jest on określony jednym parametrem $\lambda$

Własności rozkładu wykładniczego:
gęstość prawdopodobieństwa:

(3)
\begin{align} p(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right. \end{align}

dystrybuanta:

(4)
\begin{align} F(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x}&,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right. \end{align}

mediana: $\ln (2) \over \lambda$
wartość oczekiwana: $1 \over \lambda$
wariancja: $1 \over \lambda^2$

Źródło: [7]

Źródła:

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-Share Alike 2.5 License.